La Alhambra y el Teorema de Fedorov
Un mosaico es una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a hablar ahora.
Para rellenar un plano con losetas (teselar el plano) de forma periódica, existen cuatro estrategias:
1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.
2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.
3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.
4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.
Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición.
Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos . Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.
Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar los en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:
- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..
- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías
- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.
- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.
Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.
Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero absolutamente todos están representados.
Por cierto, la lista completa de los grupos es la siguiente:
p1: Dos traslaciones
p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)
p3: Dos giros de 120º
p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º
p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación
pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales
cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
p31m: Una simetría axial y un giro de 120º
p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)
p4g: Una simetría axial y un giro de 90º
p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares
Aquí teneis una excelente oportunidad de ver con más profundidad la estructura de cada uno de los diecisiete grupos de simetrías planos:
p1: Dos traslaciones
p2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º)
p3: Dos giros de 120º
p4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º
p6: Una simetría central y un giro de 120º
pm: Dos simetrías axiales y una traslación
pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales)
pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales
cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
p31m: Una simetría axial y un giro de 120º
p3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60)
p4g: Una simetría axial y un giro de 90º
p4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
p6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares
Aquí teneis una excelente oportunidad de ver con más profundidad la estructura de cada uno de los diecisiete grupos de simetrías planos:
Todo lo relatado en este artículo se refiere a teselaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la relatividad general Roger Penrose , autor además de algún que otro best seller como La mente del emperador . Otro día hablaremos de ello.
Los enlaces de la segunda columna te conducen a páginas de prácticas en donde se te propone que, usando Geogebra, dibujes las isométrías que encuentres e intentes hallar un motivo mínimo que genere el mosaico, un dominio fundamental y la celdilla base. Si ya tienes Geogebra y no quieres hacer las prácticas conectado, te puedes descargar los archivos y hacer las prácticas en tu ordenador.
